KZG 承諾代數驗證完整指南：從多項式承諾到以太坊 Blob 驗證
KZG 承諾是以太坊邁向去中心化與可擴展性的核心密碼學原語。本文從代數視角完整解析 KZG 承諾的密碼學原理、承諾生成與驗證的數學推導、以及在以太坊中的實際部署。讀者將深入理解為何 KZG 承諾能夠實現「大小固定、驗證快速」的承諾方案。
KZG 承諾代數驗證完整指南：從多項式承諾到以太坊 Blob 驗證
概述
KZG 承諾（Kate-Zaverucha-Goldberg 承諾）是以太坊邁向去中心化與可擴展性的核心密碼學原語。2024 年 3 月的 Cancun-Dencun 升級中，EIP-4844 正式引入 Blob 攜帶機制，使 KZG 承諾成為以太坊共識層與執行層的關鍵技術支柱。Blob 資料的可用性驗證、Proto-Danksharding 的實現、以及未來 Full Danksharding 的願景，都依賴於 KZG 承諾的數學特性與驗證效率。
本文從代數視角完整解析 KZG 承諾的密碼學原理、承諾生成與驗證的數學推導、以及在以太坊中的實際部署。讀者將深入理解為何 KZG 承諾能夠實現「大小固定、驗證快速」的承諾方案，以及其與其他多項式承諾方案（如 IPA、FRI）的技術權衡。
第一部分：多項式承諾的數學基礎
1.1 為什麼需要多項式承諾？
定義 1.1.1（承諾方案）：
一個密碼學承諾方案包含兩個階段：
承諾階段：
- 承諾者選擇一個值 $x$
- 計算承諾 $c = \text{Commit}(x)$
- 將 $c$ 公開，同時保密 $x$
揭示階段：
- 承諾者揭示 $x$ 和 открытие $o$
- 驗證者檢查 $\text{Verify}(c, x, o) = \text{accept/reject}$
安全性要求：
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 承諾方案安全性要求 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ 隱藏性（Hiding）： │
│ - 承諾 c 不洩露關於 x 的任何信息 │
│ - 即使面對惡意驗證者也不能推斷 x │
│ │
│ 約束性（Binding）： │
│ - 承諾者無法將承諾改變為另一個值 x' │
│ - 即 commitment(x) = commitment(x') 意味着 x = x' │
│ │
│ 額外特性（多項式承諾專有）： │
│ - 承諾者可以證明 f(z) = y │
│ - 驗證者可在不揭示整個多項式的情況下驗證 │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘定義 1.1.2（多項式承諾）：
一個多項式承諾方案允許承諾者：
- 承諾一個多項式 $f(X)$
- 在稍後證明在某個點 $z$ 的值為 $f(z) = y$
- 驗證者可以檢查證明的正確性，無需看到整個多項式
1.2 KZG 承諾的直覺動機
問題：假設 $f(X)$ 是一個 $d$ 次多項式
- 直接將 $f(X)$ 的所有係數發送需要 $O(d)$ 大小
- 驗證者需要 $O(d)$ 時間來驗證每個點的值
KZG 承諾的核心思想：
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ KZG 承諾核心思想 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ 承諾者： │
│ 1. 將多項式 f(X) = Σ aᵢXⁱ 承諾 │
│ 2. 承諾 = g^{f(τ)} = Π g^{aᵢτⁱ} │
│ 其中 τ 是秘密值 │
│ │
│ 證明者（證明 f(z) = y）： │
│ 1. 計算商多項式 q(X) = (f(X) - y) / (X - z) │
│ 2. 承諾 q(X) │
│ 3. 發送證明 π = g^{q(τ)} │
│ │
│ 驗證者： │
│ 1. 檢查 e(commit, g) = e(proof, τ - z) · e(g^y, g) │
│ 2. 這個等式在 τ 未知的情況下也可驗證！ │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘1.3 雙線性配對的數學基礎
定義 1.3.1（雙線性配對）：
設 $G1, G2, GT$ 為具有相同素數階 $p$ 的循環群。一個雙線性配對 $e: G1 \times G2 \to GT$ 滿足：
- 雙線性： $e(a \cdot g1, b \cdot g2) = e(g1, g2)^{ab}$
- 非退化： $e(g1, g2) \neq 1$
- 可計算： 存在高效算法計算 $e$
在 BN254 曲線上的實現：
以太坊使用的 BN254 曲線提供有效的配對計算：
BN254 配對參數：
- G₁: E(Fp) 上階為 p 的子群
- G₂: E'(Fp²) 上階為 p 的子群
- 配對: e: G₁ × G₂ → Gₜ
配對計算時間：~3ms（單次配對）第二部分：KZG 承諾的完整代數推導
2.1 承諾生成
定理 2.1.1（KZG 承諾）：
設 $f(X) = \sum{i=0}^{d} ai X^i$ 是一個 $d$ 次多項式，$g$ 是 $G_1$ 的生成元。KZG 承諾為：
$$c = [f(\tau)]1 = g^{f(\tau)} = g^{\sum{i=0}^{d} ai \tau^i} = \prod{i=0}^{d} ([ \tau^i ]1)^{ai}$$
其中 $\tau$ 是信任設置的秘密值。
推導：
給定信任設置：
$$SRS = ([\tau^0]1, [\tau^1]1, \ldots, [\tau^d]1, [\tau^0]2, \ldots)$$
承諾計算：
$$c = \prod{i=0}^{d} ([ \tau^i ]1)^{ai} = [\sum{i=0}^{d} ai \tau^i]1 = [f(\tau)]_1$$
2.2 證明生成：多項式除法視角
定理 2.2.1（開啟證明）：
要證明 $f(z) = y$，我們需要計算：
$$q(X) = \frac{f(X) - y}{X - z}$$
這是有效的，因為 $f(z) = y$ 意味著 $(X - z)$ 整除 $(f(X) - y)$。
開啟證明：
$$\pi = [q(\tau)]_1 = g^{q(\tau)}$$
代碼實現：
"""
KZG 承諾方案實現
"""
from dataclasses import dataclass
from typing import List, Tuple
@dataclass
class KZGCommitment:
"""KZG 承諾方案"""
# 信任設置（SRS）
powers_of_tau: List[int] # [τ⁰, τ¹, τ², ..., τ^d] 在 G₁ 中
def commit(self, coefficients: List[int]) -> int:
"""
承諾多項式 f(X) = Σ aᵢXⁱ
返回：c = g^{f(τ)} = Π (τⁱ)^{aᵢ}
"""
commitment = 0
for i, coeff in enumerate(coefficients):
# commitment += coeff * tau^i
commitment += coeff * self.powers_of_tau[i]
return commitment
def open(self, coefficients: List[int], z: int, y: int) -> Tuple[int, int]:
"""
開啟多項式在點 z 的值
計算：
q(X) = (f(X) - y) / (X - z)
返回：(c, proof) 其中 c 是承諾，proof 是開啟證明
"""
commitment = self.commit(coefficients)
# 計算商多項式 q(X) 的係數
# 使用多項式長除法
quotient = self._polynomial_divide(coefficients, z, y)
# 承諾 q(X)
proof = self.commit(quotient)
return commitment, proof
def _polynomial_divide(
self,
coeffs: List[int],
z: int,
y: int
) -> List[int]:
"""
計算 (f(X) - y) / (X - z)
其中 f(X) = Σ aᵢXⁱ
恆等式：
f(X) - y = (X - z) · q(X)
比較係數可得：
q(X) = Σ bᵢXⁱ
其中 b_{d-1} = a_d
b_{i-1} = a_i + z · b_i （從高次到低次）
"""
d = len(coeffs) - 1
quotient = [0] * d
# 最高次係數直接複製
quotient[d - 1] = coeffs[d]
# 從高次到低次計算
for i in range(d - 1, 0, -1):
quotient[i - 1] = (coeffs[i] + z * quotient[i]) % self.p
# 最後驗證 f(z) = y
reconstructed_y = sum(coeffs[i] * (z ** i) for i in range(len(coeffs))) % self.p
assert reconstructed_y == y, f"f(z) = {reconstructed_y}, expected {y}"
return quotient2.3 驗證等式的數學推導
定理 2.3.1（開啟驗證）：
給定承諾 $c = [f(\tau)]1$、證明 $\pi = [q(\tau)]1$ 和點 $z$，驗證者檢查：
$$e(c / g^y, [\tau]2) = e(\pi, [\tau]2 / [z]_2)$$
數學推導：
由承諾生成和開啟證明定義：
$$c = g^{f(\tau)}, \quad \pi = g^{q(\tau)}, \quad y = f(z)$$
根據多項式除法：
$$f(X) - y = (X - z) \cdot q(X)$$
將 $X = \tau$ 代入：
$$f(\tau) - y = (\tau - z) \cdot q(\tau)$$
兩邊取 $g$ 的冪：
$$g^{f(\tau) - y} = g^{(\tau - z) \cdot q(\tau)}$$
$$g^{f(\tau)} \cdot g^{-y} = (g^{\tau})^{q(\tau)} \cdot (g^{z})^{-q(\tau)}$$
$$c \cdot g^{-y} = ([q(\tau)]1, [\tau]2) \cdot ([\tau - z]_2)^{-q(\tau)}$$
這給出配對等式：
$$e(c / g^y, [\tau]2) = e(\pi, [\tau - z]2)$$
驗證算法：
def verify_opening(
commitment,
y,
z,
proof,
G1_generator,
G2_generator,
tau_G2,
pairing
) -> bool:
"""
驗證 KZG 開啟證明
檢查：e(c / g^y, [τ]₂) = e(proof, [τ - z]₂)
"""
# 左邊：e(c, [τ]₂) / e(g^y, [τ]₂)
left = pairing(pairing(commitment, tau_G2), pairing(G1_generator, tau_G2) ** (-y))
# 右邊：e(proof, [τ - z]₂)
right = pairing(proof, tau_G2 - z * G2_generator)
return left == right2.4 多個開啟的批量驗證
定義 2.4.1（批量開啟）：
假設要同時開啟 $k$ 個點 $z1, z2, \ldots, zk$，對應值為 $y1, y2, \ldots, yk$。
聚合證明技術：
定義聚合多項式：
$$A(X) = \prod{i=1}^{k} (X - zi)$$
定義目標多項式：
$$T(X) = \sum{i=1}^{k} \alpha^i \cdot \frac{f(X) - yi}{X - z_i}$$
其中 $\alpha$ 是隨機挑战，$\alpha^i$ 是其冪。
單個聚合證明：
$$\pi{agg} = [q{agg}(\tau)]_1$$
其中：
$$q{agg}(X) = \sum{i=1}^{k} \alpha^i \cdot \frac{f(X) - yi}{X - zi}$$
驗證等式：
$$e(c \cdot g^{-\sum \alpha^i yi}, [\tau]2) = e(\pi{agg}, \prod{i=1}^{k} [\tau - zi]2)$$
效率改進：
| 方法 | 配對數 | 通信量 |
|---|---|---|
| 分別驗證 k 個 | $2k$ | $O(k)$ |
| 批量驗證 | $2$ | $O(1)$ |
第三部分：KZG 承諾在以太坊的應用
3.1 EIP-4844 Blob 數據可用性
定義 3.1.1（Blob）：
EIP-4844 引入 Blob-Carrying Transactions，每個區塊最多可包含 6 個 Blob（目標 3 個）。
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Blob 數據結構 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Blob = 4096 Field Elements │
│ 每個 Field Element = 32 bytes │
│ 總大小：4096 × 32 = 128 KB │
│ │
│ 每個 Blob 被編碼為多項式： │
│ f(X) = Σ field_element[i] · X^i, i = 0, ..., 4095 │
│ │
│ 承諾 = KZG commitment of f(X) │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘3.2 Blob 承諾生成
步驟 1：數據編碼
def blob_to_polynomial(blob: bytes) -> List[int]:
"""
將 Blob 數據轉換為多項式
每 32 bytes 為一個 field element
"""
field_elements = []
for i in range(0, len(blob), 32):
field_elements.append(int.from_bytes(blob[i:i+32], 'little'))
return field_elements # 長度 = 4096
def compute_blob_commitment(blob: bytes) -> bytes:
"""
計算 Blob 的 KZG 承諾
1. 將 Blob 轉換為多項式 f(X)
2. 計算 commitment = KZG.Commit(f)
3. 返回 commitment（作為區塊頭的一部份）
"""
coeffs = blob_to_polynomial(blob)
commitment = kzg.commit(coeffs)
return commitment.to_bytes(48, 'little') # G1 點，48 bytes步驟 2：Commitment 與 Proof
@dataclass
class KZGProof:
"""KZG 開啟證明"""
commitment: bytes # 48 bytes
proof: bytes # 48 bytes
z: bytes # 32 bytes（點座標）
y: bytes # 32 bytes（多項式值）
def compute_proof(blob: bytes, z: int) -> KZGProof:
"""
為 Blob 數據計算 KZG 開啟證明
用於數據可用性抽樣（DAS）
"""
coeffs = blob_to_polynomial(blob)
y = evaluate_polynomial(coeffs, z)
commitment = kzg.commit(coeffs)
proof = kzg.open(coeffs, z, y)
return KZGProof(
commitment=commitment.to_bytes(48, 'little'),
proof=proof.to_bytes(48, 'little'),
z=z.to_bytes(32, 'little'),
y=y.to_bytes(32, 'little')
)3.3 數據可用性抽樣（DAS）
定義 3.3.1（數據可用性抽樣）：
節點不需要下載完整的 Blob 數據，只需隨機抽樣少量數據即可高概率確認數據可用。
抽樣協議：
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ DAS 抽樣流程 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ 1. 節點隨機選擇 k 個 Field Element 索引： │
│ z₁, z₂, ..., zₖ ∈ {0, 1, ..., 4095} │
│ │
│ 2. 向網路請求這些索引的數據片段： │
│ - 節點 A：「我需要 z₁ 位置的數據」 │
│ - 節點 B：「這裡是數據片段 + KZG 證明」 │
│ │
│ 3. 驗證每個片段： │
│ e(proof, [τ]₂) = e(commitment / g^y, [τ - z]₂) │
│ │
│ 4. 如果所有 k 個驗證通過： │
│ - 數據以概率 1 - (1/4096)^k 可用 │
│ - 當 k = 16 時，概率 > 99.6% │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘效率分析：
假設有 $n$ 個 Blob，節點抽樣 $k$ 個元素：
- 完整下載：$n \times 128$ KB
- DAS 抽樣：$k \times 32$ bytes（每個 Blob）
- 當 $n = 100, k = 16$ 時：$12.8$ MB → $512$ bytes
3.4 KZG 承諾在共識層的集成
共識層 Commitment：
// 區塊結構中的 KZG commitment
type BeaconBlockBody struct {
// ... 其他欄位 ...
// KZG 承諾列表
BlobKzgCommitments []BlobKZGCommitment `json:"blob_kzg_commitments"`
}
// BlobKZGCommitment 是 G1 點的壓縮表示
type BlobKZGCommitment [48]byte驗證器職責：
- 承諾驗證： 確認 Blob 的 KZG 承諾與區塊頭中的承諾匹配
- DAS 抽樣： 參與數據可用性抽樣網路
- 證明發布： 為抽樣請求提供數據片段和證明
第四部分：KZG 承諾的安全性分析
4.1 信任假設
定理 4.1.1（KZG 安全性）：
KZG 承諾方案的安全性基於以下假設：
- 離散對數假設（DLOG）： 在 $G1$ 和 $G2$ 上計算離散對數是困難的
- 配對安全性： 雙線性配對不存在有效算法來區分 $e(g^a, h^b)$ 和隨機元素
- 信任設置假設： 至少有一個信任設置參與者是誠實的
信任設置的安全性：
如果攻擊者知道 $\tau$，可以：
- 構造任意多項式的假承諾
- 偽造任意點的開啟證明
- 在 Blob 系統中發布虛假數據
防禦：
- Powers of Tau 儀式需要大量分散的參與者
- 只要有一個誠實參與者，$\tau$ 就保持安全
- 定期的「錨定」更新 SRS
4.2 約束性證明
定理 4.2.1（約束性）：
如果存在一個 PPT 攻擊者 $\mathcal{A}$ 可以為多項式 $f$ 構造兩個不同的開啟 $(z, y1, \pi1)$ 和 $(z, y2, \pi2)$ 使得驗證通過，則可以構造一個 PPT 算法解決 DLOG 問題。
證明概要：
假設攻擊者能夠構造衝突的開啟。則：
$$e(c / g^{y1}, [\tau]2) = e(\pi1, [\tau - z]2)$$
$$e(c / g^{y2}, [\tau]2) = e(\pi2, [\tau - z]2)$$
將兩式相除：
$$e(g^{y2 - y1}, [\tau]2) = e(\pi2 / \pi1, [\tau - z]2)$$
這給出：
$$[\tau - z]{G2} \cdot [\pi2 / \pi1]{G1} = [y2 - y1]{GT}$$
這蘊含了 $\tau$ 的信息，可以用於計算離散對數。
4.3 與其他承諾方案的比較
| 特性 | KZG | IPA（內積論證） | FRI |
|---|---|---|---|
| 承諾大小 | 48 bytes | 48 bytes | O(log n) |
| 證明大小 | 48 bytes | O(log n) | O(log² n) |
| 驗證時間 | 1 次配對 | O(log n) hash | O(log² n) |
| 信任設置 | 需要 | 透明 | 透明 |
| 量子安全 | 否 | 是 | 是 |
| 適用場景 | Blob DA | 通用計算 | STARKs |
第五部分：Proto-Danksharding 實現
5.1 架構概述
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Proto-Danksharding 架構 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ 執行層（Execution Layer）： │
│ - 驗證交易有效性 │
│ - 執行狀態轉換 │
│ - 生成 Blob 數據 │
│ │
│ 共識層（Consensus Layer）： │
│ - KZG 承諾驗證 │
│ - Blob 數據可用性抽樣 │
│ - 分叉選擇 │
│ │
│ 數據可用性層： │
│ - 節點抽樣 Blob 數據 │
│ - 重建完整 Blob │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘5.2 完整交易流程
步驟 1：交易構造
type BlobTransaction struct {
// 標準 EVM 交易欄位
To common.Address
Value *big.Int
Data []byte
// Blob 相關欄位
BlobVersionedHashes []common.Hash // KZG 承諾的哈希
BlobProofs []KZGProof // 每個 Blob 的開啟證明
MaxFeePerBlobGas *big.Int // Blob 費用上限
}步驟 2：承諾發布
func (b *BlobTransaction) CommitBlobs() error {
for i, blob := range b.Blobs {
// 1. 編碼 Blob 為多項式
coeffs := blobToPolynomial(blob)
// 2. 計算 KZG 承諾
commitment := kzg.Commit(coeffs)
// 3. 計算版本化哈希（版本 + commitment 的哈希）
versionedHash := computeVersionedHash(commitment)
// 4. 存儲承諾用於後續驗證
b.BlobVersionedHashes[i] = versionedHash
}
return nil
}步驟 3：區塊提議者職責
func (beacon *BeaconNode) ProcessBlobTransaction(tx *BlobTransaction) error {
// 1. 驗證版本化哈希
for i, hash := range tx.BlobVersionedHashes {
if !isValidVersionedHash(hash) {
return ErrInvalidVersionedHash
}
}
// 2. 驗證 KZG 承諾
for i, blob := range tx.Blobs {
proof := tx.BlobProofs[i]
// 驗證 commitment 與 versioned hash 匹配
expectedHash := computeVersionedHash(proof.Commitment)
if expectedHash != tx.BlobVersionedHashes[i] {
return ErrCommitmentMismatch
}
}
// 3. 發布 Blob 到網路（用於 DAS）
broadcastBlob(blob, proof)
return nil
}第六部分：未來 Full Danksharding
6.1 Full Danksharding 的願景
定義 6.1.1（Full Danksharding）：
Full Danksharding 將實現完整的資料可用性分片，目標是：
- 每個區塊支持數十個 Blob
- 總數據吞吐量達到數百 MB/s
- 維持與 Proto-Danksharding 相同的安全模型
6.2 KZG 承諾的擴展
Danksharding 承諾結構：
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Danksharding 承諾層級 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Level 0: 單個 Field Element │
│ Level 1: 單個 Blob (4096 Field Elements) │
│ Level 2: 多個 Blob 的聚合承諾 │
│ │
│ 聚合承諾： │
│ C_agg = Σ w_i · C_i │
│ │
│ 其中 w_i 是權重係數，用於平衡不同 Blob 的貢獻 │
│ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘多項式抽樣：
def danksharding_sample(blob_commitments, num_samples=16):
"""
從多個 Blob 中抽樣驗證數據可用性
使用 KZG 承諾的多項式特性
"""
samples = []
for _ in range(num_samples):
# 1. 隨機選擇一個 Blob
blob_idx = random.randint(0, len(blob_commitments) - 1)
# 2. 隨機選擇一個 Field Element 索引
element_idx = random.randint(0, 4095)
# 3. 請求該點的數據和證明
sample = request_sample(
blob_commitments[blob_idx],
element_idx
)
# 4. 驗證樣本
if not verify_sample(sample):
return False
samples.append(sample)
# 至少 16 個樣本全部有效，數據以 >99.6% 概率可用
return True結論
KZG 承諾是以太坊現代化升級的核心密碼學構建塊。其關鍵特性包括：
- 承諾大小固定：48 bytes，與多項式階數無關
- 驗證效率高：只需一次配對計算
- 代數安全性：基於離散對數和雙線性配對假設
- 工程成熟：已有優化實現，部署於主網
從 EIP-4844 的 Proto-Danksharding 到未來 Full Danksharding，KZG 承諾將繼續在以太坊的數據可用性與擴展方案中發揮關鍵作用。理解其數學原理與驗證機制對於深入掌握以太坊技術演進至關重要。
參考文獻
KZG 原始論文
- Kate, A., Zaverucha, G. M., & Goldberg, I. (2010). Constant-size commitments to polynomials and their applications. ASIACRYPT 2010.
EIP-4844
- Ethereum Foundation. (2023). EIP-4844: Shard Blob Transactions. Ethereum Improvement Proposals.
密碼學基礎
- Boneh, D., & Shoup, V. (2023). A Graduate Course in Applied Cryptography.
以太坊實現
- Ethereum Foundation. (2024). Blob Transaction Validation. go-ethereum.
- Zcash Foundation. (2024). Halo2 Implementation.
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延伸閱讀與來源
- Ethereum.org Developers 官方開發者入口與技術文件
- EIPs 以太坊改進提案完整列表
- Solidity 文檔 智慧合約程式語言官方規格
- EVM 代碼庫 EVM 實作的核心參考
- Alethio EVM 分析 EVM 行為的正規驗證
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