AMM 數學公式完整指南：從基礎常數乘積到進階穩定幣模型

概述

自動做市商（Automated Market Maker，AMM）是去中心化金融（DeFi）的核心基礎設施。不同於傳統交易所的訂單簿模型，AMM 採用數學公式來決定交易價格，其定價機制的優劣直接影響流動性效率、交易滑點與資金利用率。本文深入剖析各類 AMM 的數學基礎，從最基礎的常數乘積公式到最新的穩定幣 DEX 演算法，提供完整的推到過程與實務應用指南。

理解這些數學模型對於流動性提供者（LP）優化收益、交易者降低滑點、以及協議設計者構建高效市場至關重要。我們將使用詳細的數學推導與實際數值範例，幫助讀者建立直觀的理解。

一、常數乘積模型（Constant Product Model）

1.1 基礎公式推導

常數乘積模型是 Uniswap V2 採用的核心機制，其名稱來源於以下恒等式：

x × y = k

其中：

• x：代幣 X 的儲備量
• y：代幣 Y 的儲備量
• k：常數（恒定乘積）

這個公式的直覺理解是：交易不改變兩個資產儲備量的乘積。當投資者向池子添加流動性時，k 值會相應增加；而當交易發生時，k 值保持不變。

為什麼選擇乘積而非其他函數？

從數學角度而言，乘積函數具有以下特性：

• 當 x 或 y趨近於 0 時，價格趨近於無窮大，防止流動性完全耗盡
• 函數圖像為雙曲線，在整個定義域內連續且平滑
• 對稱性：兩種資產的定價權重相等

1.2 交易價格計算

根據微分幾何，價格可以定義為邊際變化率。對於常數乘積模型，邊際價格（Marginal Price）為：

dy/dx = y/x

這意味著購買一單位 X 所需的 Y 數量，等於當前 Y 儲備量除以 X 儲備量。

實際交易計算

假設：

• 初始儲備：x₀ = 1000 USDC，y₀ = 10 ETH
• 投資者希望購買 dx = 1 ETH

根據恒等式：

(x₀) × (y₀) = (x₀ + dx') × (y₀ - dy)

其中 dx' 為輸入的 USDC 數量，dy 為輸出的 ETH 數量。

求解 dy：

y₀ - dy = k / (x₀ + dx')
dy = y₀ - k / (x₀ + dx')

代入 k = x₀ × y₀ = 10000：

dy = 10 - 10000 / (1000 + dx')

若使用常規滑點計算，假設輸入 dx' = 100 USDC：

dy = 10 - 10000 / 1100 = 10 - 9.09 = 0.91 ETH

實際匯率：100 USDC / 0.91 ETH = 110 ETH/USDC（優於報價）

這解釋了為何大額交易會造成嚴重滑點——隨著交易進行，儲備比例偏離初始狀態，價格顯著變動。

1.3 滑點與價格影響分析

滑點（Slippage）是交易實際成交價格與預期價格的偏差，其根本原因是 AMM 的邊際定價機制。

滑點公式推導

對於常數乘積模型，滑點可以精確計算：

實際價格 / 初始價格 = (y₀ / (y₀ - dy)) × (1 - dy/y₀)

簡化後得到滑點率：

滑點率 ≈ dy / y₀ + (dy / y₀)² + ...

當 dy/y₀ << 1 時，一次近似為：

滑點率 ≈ dy / y₀

數值範例

假設池子配置為 50/50（價值相等），則每種資產佔總價值的 50%。若進行一筆佔總流動性 1% 的交易：

• 初始報價：1 ETH = 2000 USDC
• 交易後價格：1 ETH ≈ 2020 USDC
• 滑點：約 1%

這解釋了為何 LP 傾向於提供足夠的流動性——流動性越高，相同交易規模產生的滑點越低。

1.4 流動性深度與價格曲線

常數乘積模型的價格曲線呈現雙曲線特性，其斜率隨價格變動：

斜率 = dy/dx = y/x = 1/價格

這種設計的優點是價格永遠不會達到無窮大（流動性不會完全耗盡），但缺點是在極端價格區間，流動性極度匱乏。

實際影響

從數據可見，大額交易在常數乘積模型中極不經濟，這催生了後續的集中流動性模型。

二、集中流動性模型（Concentrated Liquidity）

2.1 Uniswap V3 的創新

Uniswap V3 引入的集中流動性機制允許 LP 將資金集中在特定價格區間，而非均勻分佈在整個 0 到 ∞ 的範圍內。這一創新來自於一個簡單的觀察：大多數交易發生在特定價格區間。

核心公式

在區間 [Pₐ, Pᵦ] 內提供流動性時，等效的常數乘積為：

k = (√Pᵦ - √P) × (√P - √Pₐ) / (√Pᵦ - √Pₐ) × L²

其中 L 為流動性數量（Virtual Liquidity），定義為：

L = √(x × y)

2.2 虛擬儲備與流動性計算

虛擬儲備概念

在集中流動性模型中，即使某個區間內的實際儲備為零，系統仍會根據數學公式計算「虛擬儲備」。這允許交易在區間內進行，即使物理上的代幣已經耗盡。

流動性數量（L）計算

對於位於 [Pₐ, Pᵦ] 的頭寸，流動性 L 的計算方式為：

L = Δx × √Pᵦ / (√Pᵦ - √Pₐ) = Δy / (√Pᵦ - √Pₐ)

其中 Δx, Δy 為實際存入的代幣數量。

實際範例

假設 LP 欲在 ETH/USDC 價格區間 1500-2500 USDC 內提供流動性：

• 存入：1 ETH + 2000 USDC
• 當前價格：2000 USDC/ETH
• √P = √2000 ≈ 44.72
• √Pₐ = √1500 ≈ 38.73
• √Pᵦ = √2500 = 50

計算 L：

L = 1 × 50 / (50 - 38.73) = 50 / 11.27 ≈ 4.44

2.3 區間頭寸的價格變動風險

集中流動性雖然提高了資本效率，但也帶來了「範圍內」（in-range）和「範圍外」（out-of-range）的風險。

當價格離開區間時

當交易價格突破 Pₐ 或 Pᵦ 時，LP 的頭寸將完全由單一資產構成：

• 價格高於上限：頭寸 100% 為 USDC
• 價格低於下限：頭寸 100% 為 ETH

無常損失（Impermanent Loss）計算

假設初始價格為 P₀，終止價格為 P₁，在區間 [Pₐ, Pᵦ] 內的無常損失為：

IL = 2 × √(P₁/P₀) - P₁/P₀ - 1  （當 P₀, P₁ 都在區間內）

數值範例

假設：

• 初始價格：2000 USDC/ETH
• 最終價格：2500 USDC/ETH
• 區間：1500-2500 USDC

IL = 2 × √(2500/2000) - 2500/2000 - 1
   = 2 × √1.25 - 1.25 - 1
   = 2 × 1.118 - 2.25
   = 2.236 - 2.25
   = -0.014 = -1.4%

在這種情況下，LP 仍能獲得部分收益，因為價格上漲帶來了資本利得。

三、穩定幣 AMM 與 StableSwap

3.1 常數和模型的問題

對於穩定幣交易對（如 USDC/USDT），傳統常數乘積模型存在嚴重缺陷：

• 穩定幣設計上應該保持 1:1 掛鉤
• 常數乘積模型在價格接近 1:1 時定價效率極低
• 即使兩個代幣價值完全相等，交易仍會產生不必要的滑點

數據說明

假設池子為 1,000,000 USDC + 1,000,000 USDT：

• 交易 10,000 USDC 換 USDT
• 常數乘積模型產生的滑點約為 1%
• 這對本應「穩定」的交易對而言是不可接受的

3.2 Curve 的 StableSwap 公式

Curve Finance 引入的 StableSwap 機制結合了常數乘積與常數和模型的優點：

D = A × nⁿ × Σuᵢ + Σ(uᵢⁿ⁺ⁿ)

簡化版本（針對雙代幣池）：

D = A × x × y × (x² + y²) + x² × y²

其中：

• A：放大係數（Amplification Coefficient），控制曲線形狀
• x, y：兩種代幣的數量

3.3 放大係數（A）的作用

放大係數 A 是 StableSwap 模型中最關鍵的參數，它決定了曲線在何處開始偏離常數和模型。

A 與曲線形狀

• 當 A → ∞：曲線趨近於常數和模型（x + y = D）
• 當 A = 1：曲線趨近於常數乘積模型

實務選擇

3.4 交易計算實務

輸入輸出計算

在 StableSwap 中，給定輸入 dx，輸出 dy 的精確計算需要求解二次方程：

Ax² + Bx + C = 0

其中係數根據當前狀態動態計算。實際實現中，通常使用、牛頓法或二分搜尋進行數值求解。

簡化近似公式

當交易量相對於池子很小時，可以使用以下近似：

dy ≈ dx × (1 - (x + dx) / (y - dy)) / (1 + A × (x + y) / D²)

實際範例

假設：

• 池子：5,000,000 USDC + 5,000,000 USDT
• A = 100
• 交易：100,000 USDC 換 USDT

使用近似公式計算：

dy ≈ 100,000 × (1 - 5100000/4900000) / (1 + 100 × 10000000/25000000000)
   ≈ 100,000 × (-0.04) / (1 + 0.04)
   ≈ 100,000 × (-0.0385)
   ≈ 38,500 / 1.04
   ≈ 37,019 USDT

實際滑點：~0.98%（遠優於常數乘積的 ~2%）

3.5 流動性頭寸計算

LP 份額計算

LP 在 StableSwap 中存入資產後，獲得的份額（tokens）計算為：

shares = D × (1 - (vD/D₀)ⁿ)

其中 vD 為提取的價值（扣除費用後）。

收益來源

StableSwap LP 的收益來自三個部分：

1. 交易手續費（通常 0.04-0.1%）
2. CRV 激勵代幣（額外收益）
3. 套利收益（維持價格穩定）

四、動態 AMM 與自適應曲線

4.1 為何需要動態曲線

傳統 AMM 的曲線是靜態的，無法適應市場條件變化。在以下場景中，靜態曲線表現不佳：

• 市場劇烈波動時需要更平滑的價格曲線
• 低流動性時期需要更好的深度
• 特定協議需要客製化定價邏輯

4.2 KyberDMM 的動態乘積

Kyber Network 的動態AMM（DMM）引入時間加權的流動性概念：

k(t) = k₀ × f(t)

其中 f(t) 根據以下因素動態調整：

• 近期交易量
• 波動率
• 池子利用率

4.3 Saddle Finance 的調整公式

Saddle Finance 針對比特幣錨定資產（如 renBTC/WBTC/sBTC）採用可調參數的 StableSwap：

修正系數 = 1 + β × |p - 1|

其中 β 為敏感性參數，p 為偏離錨定價格的比率。

4.4 實作考量

動態參數的挑戰

• 預言機依賴：需要可靠的價格輸入
• 操縱風險：參數更新可能被攻擊
• 複雜性：增加合約漏洞風險

最佳實踐

• 參數更新應有時間鎖延遲
• 設置合理的參數邊界
• 使用時間加權平均避免瞬間波動影響

五、費用模型與 LP 收益優化

5.1 交易費用結構

固定費用模型

Uniswap V2 採用 0.3% 的固定費用，這筆費用歸 LP 所有：

收入 = 0.3% × 交易額

動態費用模型

部分協議根據波動率或池子利用率調整費用：

費用率 = 基礎費率 × 波動率因子 × 利用率因子

5.2 LP 收益率計算

年化收益率（APY）公式

APY = (年度交易收入) / (鎖定流動性價值) × 100%

實際計算

假設：

• 池子流動性：1,000,000 USDC
• 日均交易量：200,000 USDC
• 費用率：0.3%

日收入 = 200,000 × 0.3% = 600 USDC
年收入的 = 600 × 365 = 219,000 USDC
APY = 219,000 / 1,000,000 = 21.9%

現實中，交易量會波動，APY 也隨之變化。

5.3 無常損失量化

完整 IL 公式

對於常數乘積池，無常損失為：

IL = 2 × √(P₁/P₀) / (1 + P₁/P₀) - 1

表格查詢

5.4 收益優化策略

1. 集中流動性優化

選擇交易密集的價格區間：

// 選擇區間的簡易邏輯
function calculateOptimalRange(
    uint256 currentPrice,
    uint256 historicalVolatility
) internal pure returns (uint256, uint256) {
    uint256 width = historicalVolatility * currentPrice / 100;
    uint256 lower = currentPrice - width;
    uint256 upper = currentPrice + width;
    return (lower, upper);
}

2. 多元化分散

將流動性分配到多個池子：

• 主要池子：50% 資金，窄區間
• 次要池子：30% 資金，寬區間
• 備用池子：20% 資金，極寬區間

3. 收益聚合

使用 Yearn 等收益優化器自動再投資：

// 收益聚合邏輯
function harvest() external {
    // 收集交易費用
    uint256 fees = pendingFees();

    // 自動複投
    if (fees > threshold) {
        addLiquidity(fees);
    }
}

六、進階數學：路徑依賴與滑點優化

6.1 多跳交易的路徑依賴

當交易透過多個池子進行時，最終輸出取決於所選擇的路徑。這就是所謂的「路徑依賴」問題。

範例：USDC → ETH → DAI

路徑 1：USDC → ETH → DAI

• USDC/ETH 池：1000 USDC → 0.5 ETH
• ETH/DAI 池：0.5 ETH → 850 DAI

路徑 2：USDC → DAI（直接）

• USDC/DAI 池：1000 USDC → 995 DAI

顯然，直接路徑效率更高。這催生了 1inch、Paraswap 等聚合器的需求。

6.2 最優路徑算法

貪心算法的局限性

簡單的貪心算法（在每一步選擇最優輸出）可能陷入局部最優：

貪心選擇：A→B→C 可能優於 A→C

動態規劃解法

定義狀態：

dp[i][j] = 從代幣 i 交換到代幣 j 的最大輸出

轉移方程：

dp[i][j] = max(dp[i][k] × dp[k][j])  for all k

複雜度：O(n³)，其中 n 為代幣數量。

6.3 滑點預測模型

機器學習輔助

傳統公式無法預測套利行為帶來的價格變動。進階系統使用：

# 滑點預測特徵
features = [
    'trade_size_ratio',      # 交易規模/流動性
    'volatility_24h',        # 24小時波動率
    'utilization_change',     # 利用率變化
    'recent_trade_count'     # 近期交易次數
]

# 滑點預測模型
predicted_slippage = model.predict(features)

安全邊際建議

基於預測結果，建議設置的安全邊際：

七、協議設計的數學考量

7.1 初始流動性設定

新 AMM 池的初始流動性設定至關重要。考慮以下數學問題：

目標：初始價格合理性

初始價格 = 初始代幣A數量 / 初始代幣B數量

應根據外部市場價格設定，避免套利空間過大。

流動性深度規劃

根據預期交易量，所需流動性：

L = 預期日交易量 × (1 / 目標滑點)²

範例：目標日交易量 1,000,000 USDC，目標滑點 0.5%

L = 1,000,000 × (1/0.005)² = 1,000,000 × 40,000 = 40,000,000

7.2 激勵代幣分配數學

費用補貼公式

協議通常使用代幣激勵吸引流動性。分配公式：

補貼率 = 目標APY - 費用收入APY
年度代幣支出 = 鎖定價值 × 補貼率

線性釋放 vs 遞減

• 線性釋放：每期固定數量
• 遞減釋放：早期高，後期低

遞減模式更有利於長期穩定性，但需要更精細的經濟模型設計。

7.3 脆弱性分析

價格操縱防範

AMM 的定價機制使其容易受到價格操縱攻擊。關鍵指標：

操縱成本 ≈ 流動性 × 期望價格偏移

閃電貸攻擊向量

攻擊流程：

1. 透過閃電貸大量借貸
2. 在 AMM 中大額交易操縱價格
3. 在其他市場套利
4. 償還閃電貸

防範措施：

• 設置最大交易限制
• 引入價格偏差保護
• 使用時間加權平均價格（TWAP）

八、實務工具與代碼範例

8.1 價格計算合約

// SPDX-License-Identifier: MIT
pragma solidity ^0.8.19;

import "@openzeppelin/contracts/token/ERC20/IERC20.sol";

contract AMMPricing {
    // 獲取輸出數量（常數乘積）
    function getAmountOut(
        uint256 amountIn,
        uint256 reserveIn,
        uint256 reserveOut,
        uint256 fee
    ) public pure returns (uint256) {
        require(amountIn > 0, "Invalid input amount");
        require(reserveIn > 0 && reserveOut > 0, "Insufficient liquidity");

        uint256 amountInWithFee = amountIn * (10000 - fee) / 10000;
        uint256 numerator = amountInWithFee * reserveOut;
        uint256 denominator = reserveIn + amountInWithFee;

        return numerator / denominator;
    }

    // 獲取輸入數量（常數乘積）
    function getAmountIn(
        uint256 amountOut,
        uint256 reserveIn,
        uint256 reserveOut,
        uint256 fee
    ) public pure returns (uint256) {
        require(amountOut > 0, "Invalid output amount");
        require(reserveIn > 0 && reserveOut > 0, "Insufficient liquidity");

        uint256 numerator = reserveIn * amountOut * 10000;
        uint256 denominator = (reserveOut - amountOut) * (10000 - fee);

        return numerator / denominator + 1;
    }

    // 批量獲取多跳路徑輸出
    function getAmountsOut(
        uint256 amountIn,
        address[] memory path,
        mapping(address => (uint256, uint256)) memory reserves,
        uint256 fee
    ) public pure returns (uint256[] memory amounts) {
        require(path.length >= 2, "Invalid path");

        amounts = new uint256[](path.length);
        amounts[0] = amountIn;

        for (uint256 i = 0; i < path.length - 1; i++) {
            (uint256 reserveIn, uint256 reserveOut) = reserves[path[i]];
            amounts[i + 1] = getAmountOut(
                amounts[i],
                reserveIn,
                reserveOut,
                fee
            );
        }
    }
}

8.2 流動性頭寸計算

// 計算集中流動性的價值變化
contract LiquidityPosition {
    struct Position {
        uint256 liquidity;
        uint256 lowerTick;
        uint256 upperTick;
        uint256 lastTimestamp;
    }

    // 計算頭寸價值
    function positionValue(
        Position memory pos,
        uint256 currentPrice,
        uint256 token0Reserve,
        uint256 token1Reserve
    ) public pure returns (uint256 value0, uint256 value1) {
        if (currentPrice <= pos.lowerTick) {
            // 價格低於區間，全部為 token1
            uint256 amount1 = pos.liquidity * (sqrt(pos.upperTick) - sqrt(pos.lowerTick));
            return (0, amount1);
        } else if (currentPrice >= pos.upperTick) {
            // 價格高於區間，全部為 token0
            uint256 amount0 = pos.liquidity * (sqrt(pos.upperTick) - sqrt(pos.lowerTick));
            return (amount0, 0);
        } else {
            // 價格在區間內
            uint256 amount0 = pos.liquidity * (sqrt(currentPrice) - sqrt(pos.lowerTick));
            uint256 amount1 = pos.liquidity * (sqrt(pos.upperTick) - sqrt(currentPrice));
            return (amount0, amount1);
        }
    }

    // 簡化版 sqrt 函數
    function sqrt(uint256 x) public pure returns (uint256 y) {
        uint256 z = (x + 1) / 2;
        y = x;
        while (z < y) {
            y = z;
            z = (x / z + z) / 2;
        }
    }
}

8.3 StableSwap 計算

// Simplified StableSwap D calculation
function calculateD(
    uint256[] memory balances,
    uint256 A
) public pure returns (uint256 D) {
    uint256 n = balances.length;
    uint256 sum = 0;
    uint256 i;

    for (i = 0; i < n; i++) {
        sum += balances[i];
    }

    if (sum == 0) return 0;

    uint256 Dprev = 0;
    D = sum;

    // Newton-Raphson iteration
    for (uint256 i = 0; i < 255; i++) {
        uint256 D_P = D;

        for (uint256 j = 0; j < n; j++) {
            D_P = D_P * D / balances[j];
        }

        uint256 Dnext = (D * (n - 1) + D_P / (A * n ** n)) * sum / ((n + 1) * D_P / (n * n) + D);

        if (Dnext > D) {
            Dnext -= (Dnext - D) / 2;
        } else {
            D += (D - Dnext) / 2;
        }

        if (Dprev == D) break;
        Dprev = D;
    }
}

九、未來發展方向

9.1 v4 與 Hooks 架構

Uniswap V4 引入的 Hooks 機制允許開發者自定義 AMM 曲線：

• 動態費用調整
• 自定義價格預言機
• 自動化頭寸管理

9.2 整合zk-Rollup

將 AMM 與 zk-Rollup 結合可以：

• 降低交易成本
• 提高隱私保護
• 實現更複雜的定價邏輯

9.3 機構級流動性

傳統金融機構的進入將推動：

• 更大規模的流動性池
• 合規的做市商機制
• 專業級風險管理工具

結論

AMM 的數學原理是 DeFi 生態的基石。從常數乘積到 StableSwap，每種模型都代表了在效率、穩定性與安全性之間的不同權衡。理解這些數學公式不僅有助於 LP 優化收益，更能幫助開發者設計更健壯的金融協議。

隨著技術演進，我們將看到更多創新的 AMM 形態出現，但核心的流動性提供與價格發現機制將持續演進。建議讀者實際動手計算、部署測試合約，以深化對這些數學模型的理解。

延伸閱讀

• Uniswap V3 技術文檔
• Curve Finance 穩定幣機制
• DeFi 流動性提供完整指南